IPA SMP · Gerak Melingkar · Ibadah Haji dan Umrah

Tawaf dan Gerak Melingkar

Tujuh putaran mengelilingi Kakbah adalah contoh gerak melingkar yang bisa diukur: periode, kecepatan sudut, kecepatan linear, dan gaya ke arah pusat.

Menghitung periode, kecepatan sudut, dan kecepatan linear jamaah
Membandingkan jalur dekat Kakbah dan jalur luar
Menjelaskan gaya sentripetal dan mengapa tubuh condong ke dalam
Membedakan gerak melingkar (tawaf) dan gerak bolak-balik (sai)

Kecepatan jalan v: 1,0 m/s (animasi dipercepat 20 kali)

Tekan tombol Lanjut, tombol panah, atau geser layar.

Tawaf dilihat dari atas

Tujuh putaran, berlawanan arah jarum jam, dengan Kakbah di sisi kiri jamaah.

Dari atas, jamaah bergerak melingkar dengan Kakbah di sebelah kirinya. Itu berarti geraknya berlawanan arah jarum jam.
Satu putaran = 360° = 2π radian, dimulai dan diakhiri di garis sejajar Hajar Aswad.
Periode T = 2πr / v, kecepatan sudut ω = 2π / T = v / r, sehingga v = ω r.
Lajunya tetap, tetapi arah geraknya terus berubah. Karena itu kecepatan (vektor) berubah dan ada percepatan (slide 4).

Coba ini

Perbesar r tanpa mengubah v. Apa yang terjadi pada T dan ω? Lalu perbesar v saja.

Model: jalur lingkaran berpusat di Kakbah. Ukuran Kakbah ±12 × 11 m dan denah Hijr Ismail digambar skematis (perkiraan). Jalur sebenarnya mengitari Hijr Ismail dan tidak bulat sempurna.

Jari-jari jalur r 20 m Kecepatan jalan v 1,0 m/s Percepatan animasi 20×

Putaran-

Waktu berjalan-

Periode T-

Kecepatan sudut ω-

Jarak 7 putaran-

Jari-jari berbeda, jarak berbeda

Jalur luar lebih panjang. Tujuh putaran bisa selisih ribuan langkah dan puluhan menit.

Keliling lingkaran 2πr, jadi jarak 7 putaran 14πr.
Dengan nilai awal (perkiraan): jalur dekat Kakbah r = 20 m menempuh ±880 m, jalur lantai luar r = 55 m menempuh ±2.419 m.
Pada kecepatan jalan 1 m/s: ±14,7 menit di jalur dekat, ±40,3 menit di jalur luar.
Jika rombongan ingin tetap rapat (periode sama), yang di luar harus lebih cepat karena v = ω r.

Coba ini

Pilih mode "Periode sama". Berapa kecepatan jamaah di jalur luar? Apakah masih wajar untuk berjalan?

r = 20 m dan 55 m adalah perkiraan untuk membandingkan, bukan ukuran resmi. Sesuaikan geser dengan lantai yang dibahas.

r jalur dalam 20 m r jalur luar 55 m Kecepatan jamaah dalam 1,0 m/s Percepatan animasi 60×

Jalur	r	v	ω	T	7 putaran	Waktu
Dalam	-	-	-	-	-	-
Luar	-	-	-	-	-	-

Mengapa tubuh condong ke dalam

Berbelok butuh gaya ke arah pusat. Pada kecepatan tawaf, gayanya kecil sekali.

Arah kecepatan terus berubah, jadi ada percepatan menuju pusat: a = v² / r.
Gayanya F = m v² / r. Pada jamaah, gaya ini berasal dari gesekan sandal atau kaki dengan lantai.
Agar tidak terguling, resultan gaya lantai (normal N dan gesekan f) harus lewat pusat massa. Maka tubuh condong ke dalam dengan tan θ = v² / (r g).
Jalan 1 m/s di r = 20 m, massa 60 kg: a = 0,05 m/s², F = 3 N (±0,5% berat), θ = 0,3°. Condongnya baru tampak jelas bila berlari.

Coba ini

Tekan "Lari 6 m/s". Lalu perkecil r tanpa mengubah v. Mana yang membuat tubuh lebih condong: r kecil atau r besar?

Model: benda tegar yang condong, gesekan cukup, g = 9,81 m/s². Panah pada gambar atas tidak berskala.

Kecepatan v 5,0 m/s Jari-jari r 15 m Massa m 60 kg

Percepatan a-

Gaya sentripetal F-

F dibanding berat-

Sudut condong θ-

Periode T-

Model agen sederhana

Makin padat, makin pelan, dan arus orang justru turun bila terlalu penuh.

Tiap titik adalah satu jamaah. Ia ingin berjalan ±1,3 m/s berlawanan arah jarum jam, melambat bila ada orang di depannya, dan boleh bergeser ke jalur samping yang lebih lega.
Kecepatan rata-rata yang tampak adalah hasil aturan itu, bukan angka yang dimasukkan.
Arus (orang per menit yang melewati garis Hajar Aswad) naik dulu, lalu turun saat terlalu padat.
Nyalakan "Semua ingin dekat Kakbah": jalur dalam macet, jalur luar masih lancar.

Catatan model

Ini model sederhana, bukan data lapangan. Cincin tawaf 20 sampai 40 m dan kecepatan keinginan 1,3 m/s adalah perkiraan. Tidak ada keluarga, lansia, kursi roda, lantai bertingkat, atau jeda. Angka kepadatan nyata di Masjidilharam harus dilihat dari sumber resmi.

Kepadatan rata-rata 0,6 orang/m² Percepatan waktu 4×

Jumlah titik-

Kecepatan rata-rata-

7 putaran kira-kira-

Arus lewat garis emas-

v sepertiga dalam-

v sepertiga luar-

Gerak lurus bolak-balik

Sai berbeda dari tawaf: bolak-balik pada garis lurus, tujuh lintasan, berakhir di Marwa.

إِنَّ ٱلصَّفَا وَٱلْمَرْوَةَ مِن شَعَآئِرِ ٱللَّهِ

QS. Al-Baqarah: 158 (potongan awal). Sesungguhnya Safa dan Marwah adalah sebagian dari syiar Allah.

Safa → Marwa = lintasan 1, Marwa → Safa = lintasan 2, dan seterusnya. Lintasan ke-7 berakhir di Marwa.
Jarak antar bukit ±450 m (perkiraan), sehingga jarak tempuh 7 × 450 = 3.150 m ≈ 3,15 km.
Jarak tempuh berbeda dari perpindahan. Setelah 7 lintasan jamaah menempuh 3.150 m, tetapi perpindahannya hanya 450 m (Safa ke Marwa).
Pada grafik posisi-waktu, geraknya berbentuk gelombang segitiga. Laju rata-rata 1 m/s, kecepatan rata-rata (vektor) hanya 0,14 m/s.

Angka ±450 m perkiraan. Sumber berbeda menyebut angka yang tidak persis sama, cek sumber resmi. Teks ayat ditulis dari ingatan, verifikasi dengan mushaf.

Kecepatan jalan 1,0 m/s Percepatan animasi 60×

Lintasan-

Posisi dari Safa-

Jarak tempuh-

Perpindahan-

Laju rata-rata-

Kecepatan rata-rata-

Satu rumus, banyak besaran

Radian, panjang busur, dan v = ω r menghubungkan sudut, jarak, dan waktu.

Satu radian adalah sudut yang busurnya sepanjang jari-jari. Panjang busur s = θ r.
Tujuh putaran: θ = 7 × 2π = 14π ≈ 43,98 rad.
Frekuensi f = 1/T, kecepatan sudut ω = 2πf, kecepatan linear v = ω r.
Pada ω tetap, v bertambah lurus terhadap r. Pada v tetap, percepatan sentripetal a = v²/r menurun bila r membesar.

Coba ini

Tarik jumlah putaran ke 7 dan baca s. Lalu ganti r menjadi dua kali lipat. Besaran mana yang ikut dua kali lipat, mana yang tidak?

Jumlah putaran 2,00 Jari-jari r 20 m Periode T 126 s

Sudut θ-

Busur s = θ r-

Frekuensi f-

ω = 2π/T-

v = ω r-

a = ω² r-

Tawaf ditambah sai

Tawaf 7 putaran lalu sai 7 lintasan: berapa jauh dan berapa lama seluruhnya?

وَلْيَطَّوَّفُوا۟ بِٱلْبَيْتِ ٱلْعَتِيقِ

QS. Al-Hajj: 29 (potongan akhir). Dan hendaklah mereka melakukan tawaf di sekeliling Rumah yang tua (Baitullah).

Dalam umrah, urutannya tawaf 7 putaran, salat sunah dua rakaat, lalu sai 7 lintasan. Jeda dan salat tidak dihitung di sini.
Tawaf bergerak melingkar (jarak = 14πr). Sai bergerak lurus bolak-balik (jarak = 7 × 450 m).
Langkah dihitung dari panjang langkah rata-rata ±0,7 m (perkiraan).

Coba ini

Geser r dari 20 m ke 55 m. Mana yang lebih jauh: tawaf di lantai luar atau sai? Pada r berapa keduanya sama?

Ayat ditulis dari ingatan. Verifikasi teks Arab dan terjemahnya dengan mushaf sebelum dibagikan.

Jari-jari tawaf r 20 m Kecepatan jalan 1,0 m/s Percepatan animasi 120×

Jarak tawaf-

Jarak sai-

Total jarak-

Waktu tawaf-

Waktu sai-

Total waktu-

Langkah kira-kira-

Uji pemahaman

Setiap jawaban benar menyelesaikan satu putaran tawaf. Tujuh benar, tawaf selesai.

Putaran 0 dari 7. Jawab dengan benar untuk memulai tawaf.

Rangkuman

Tawaf adalah gerak melingkar yang bisa dihitung, sai adalah gerak bolak-balik.

Tawaf: periode T = 2πr/v, kecepatan sudut ω = v/r, kecepatan linear v = ω r.
Jalur lebih luar berarti jarak dan waktu 7 putaran lebih besar.
Gaya sentripetal F = m v²/r berasal dari gesekan lantai, kecil pada kecepatan jalan.
Kerumunan lebih padat berarti kecepatan rata-rata turun (pada model sederhana).
Sai: ±450 m × 7 ≈ 3,15 km jarak tempuh, tetapi perpindahannya 450 m.

Kecepatan jalan v: 1,0 m/s

Tugas: ukur keliling lapangan sekolah, catat waktu satu putaran berjalan, lalu hitung T, ω, dan v. Ayat dan angka perkiraan di deck ini perlu dicek guru.